Question

计算二重积分∫∫e^(x+y)dσ,D= lxl + lyl<=1.

我用了二种解法，结果竟然和书上的答案各不相同。
解法1：∫[-1->1]dx ∫[(x-1)->(-x+1)] e^(x+y)dy，结果为[3e+e^(-3)]/2
解法2：∫[0->1]dy∫[0->(-y+1)] e^(x+y)dx = 1，结果为1*4=4
而书上的解法：D1={(x,y) l -x-1<=y<=x+1 , -1<=x<=0};
D2={(x,y) l x-1<=y<=-x+1, 0<=x<=1}.
因此 ∫∫[D]e^(x+y)dxdy=∫∫[D1]e^(x+y)dxdy+∫∫[D2]e^(x+y)dxdy
=e-(1/e)
这是什么原因啊？

Answer 1

你的两种解法都不对。
1、你先积的y，但y的变化范围写成x-1→-x+1这个不对，
注意看图，对于左半平面，y的变化范围并不是x-1→-x+1，y的范围需分两个区间来写，
当x：-1→0时，y是-x-1→x+1
当x：0→1时，y才是x-1→-x+1

2、方法二无任何道理，你使用了对称性，而奇偶对称性必须在奇函数或偶函数时才能使用，
e^(x+y)无论对x还是y都是非奇非偶函数。

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Answer 2

解法一中，对y积分限不对，应该是 -1<=x<=0,-x-1<=y<=x+1;0<=x<=1,x-1<=y<=-x+1
解法二中，注意e^(x+y)对坐标轴不具对称性。所以不能取倍数。