Question

若关于x的方程4^x+(m-2)2^x+1=0有正根,则m的取值范围是 答案是＜0 求详细过程！ 谢谢凹。

Answer 1

令t=2^x, 因x>0, 故t>1
方程化为:t^2+(m-2)t+1=0
即此方程有根t>1
m=2-(t^2+1)/t=2-(t+1/t)
因为t+1/t>=2, 当且仅当t=1时等号成立
故t>0时，t+1/t>2
所以有2-(t+1/t)<0
故m<0

Answer 2

记 t=2^x ，f(t)=t^2+(m-2)t+1 ，
由 x>0 得 t>1 ，
所以 f(t)=0 有大于 1 的根 ，
那么（1） f(1)=1+m-2+1<0 ；
或（2）对称轴 (2-m)/2>1 ，且判别式=(m-2)^2-4>=0 ，
解（1）得 m<0 ；
解（2）得 m<0 ；
取并集得 ｛m | m<0｝。