Question

三个数均值定理是什么？ 请用 调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数 表示

如两个数的2/（1/a+1/b）≤√ ab ≤（a+b）/2≤ √ [（a^2+b^2）/2]

Answer 1

三个数均值定理：（a+b+c）/3大于等于三次根号abc，条件abc均是正数。
调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数.就是
1/[(1/a+1/b)/2]=<√(ab)=<(a+b)/2=<√[a^2+b^2)/2] (a>0,b>0)
证明:
1)几何平均数=<算术平均数<-->√(ab)=<(a+b)/2.......(*)
a>0,b>0--->√a-√b是任意实数
--->(√a-√b)^2>=0
--->a+b-2√(ab)>=0
--->a+b>=2√(ab)
--->√(ab)=<(a+b)/2
2)(*)--->a+b>=2√(ab)
--->2ab=<(a+b)√(ab)
--->2ab/(a+b)=<√(ab)
--->1/[(1/a+1/b)/2]=<√(ab)......(**)调和平均数=<几何平均数
3)(a-b)^2>=0--->a^2+b^2>=2ab
--->a^2+b^2+2ab=<2(a^2+b^2)
--->2(a+b)^2=<4(a^2+b^2)
--->[(a+b)/2]^2>=(a^2+b^2)/2
--->(a+b)/2=<√[(a^2+b^2)/2]......(***)算术平均数=<平方平均数