Question

已知点P到点M（-1，0），N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求实数m的取值范围。

能不能用有关双曲线的知识解答

Answer 1

设点P（x，y）
因为到x轴、y轴距离之比为2
所以点P在直线y=±2x上
当P在原点时
2m的最小值=0.
设M关于直线y=2x的对称点为M1（m，n）
则M1M垂直于直线y=2x
得n/（m+1）=-1/2，且M1M的中点（（m-1）/2，n/2）在对称轴y=2x上
所以（3/5，-4/5），由平面几何知识可知2m的最大值等于|M1N|=2根号5/5.
从而0小于=2m小于=2根号/2，0小于=m小于=根号5/5.
根据对称性知所求的范围是[-根号5/5，根号5/5].

用双曲线的知识答,则有:
由设点P到点M（－1.0）N(1.0)距离之差为2m，可知 它是以M N为交点的双曲线,2a=2m,这想可以写出双曲线的方程,用m表示,又因为
到X轴Y轴距离之比为2 ,所以说明曲线上存在点P满足次条件,即可以方程Y=2X与曲线方程联立,得一一元二次方程令判别市大于0
但千万不要忘记2m需要小于MN的长度 !
祝你进步~