Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB交AB于点E，且CD=AC，DF∥BC，分别与AB、AC交于点G、F

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB交AB于点E，且CD=AC，DF∥BC，分别与AB、AC交于点G、F
1）求证：GE=GF；
（2）若BD=1，求DF的长。
急！！速度啊！！！

请用初二的方法，中位线和三角形形似这种不要出现！！！

Answer 1

﹙1﹚∵DF∥BC ∴∠DFC=180－∠ACB =180°－90°=90°
∵CD⊥AB交AB于点E ∴∠AEC=90°=∠DFC
又∵∠ACE=∠DCF（公共角）AC=DC ∴⊿ACE≌∠DCF（ASA）∴ CF=CE
∠A=∠GDE 又∵AC=DC ∴AF=DE 且∵∠AFG=90°=∠DEG
∴⊿AFG≌⊿DEG（ASA） ∴GF=GE
﹙2﹚连接AD
∵∠AEC=90°﹙已证明），∠A=30° ∴∠ACE=60° 而AC=DC
∴⊿ACD是等边三角形（有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形）AB⊥CD

∴CE=DE（三线合一） 即AB是CD的垂直平分线 ∴CB=BD=1

在RT⊿ACB中：∠A=30° ∴AB=2CB=2 且∠ECB=60°
∴在Rt⊿BCE中∠ECB=30° ∴BE=½CB=½ ∴AE=AB－BE=1.5

∵⊿ACE≌∠DCF前面已证明 ∴DF=AE=1.5