Question

设f(x)是(负无穷大,正无穷大)上的奇函数,f(x+2)=-f(x)当0≤x≤1时,f(x)=x当-4≤x≤4时,

求f(x)的图像与x轴围成的面积
并写出（负无穷大，正无穷大）内函数f(x)的单调区间

Answer 1

f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x)
所以，f(x)的周期为4
f(x)为其函数，而在区间[0,1], f(x)=x
所以，在区间[-1,0], f(x)=x, 所以在区间[-1,1],f(x)=x
当1<=x<=3
f(x)=f((x-2)+2)=-f(x-2)=-(x-2)=-x+2
再由f(x)的周期性，我们就能作出f(x)在（负无穷大，正无穷大）区间的图象
则：当-4≤x≤4时，f(x)的图像与x轴围成的面积=4*(1/2)*2*1=4
当-1+4n<=x<=1+4n, 其中n为任意整数，f(x)单调递增
当1+4n<=x<=3+4n, 其中n为任意整数，f(x)单调递减

追问

f(x)为其函数，而在区间[0,1], f(x)=x
所以，在区间[-1,0], f(x)=x, 所以在区间[-1,1],f(x)=x
为什么会有这一步，它又不是偶函数

追答

f(x)为奇函数
当-1<=x<=0, 则：f(-x)=-x
f(x)=-f(-x)=-(-x)=x

追问

请原谅我的愚笨，根据你的过程，我构造出的图跟题意矛盾了，你能把图发一下么

追答

你在坐标系中标出这些点：
(-4,0), (-3,1), (-1,-1), (1,1), (3,-1), (4,0)
然后，把最邻近的点用线段连起来，这样就画好图了。

Answer 2

sorry 我不知道 (*^__^*) 嘻嘻……