Question

α0是非齐次线性方程组AX=β的一个解，α1，α2，...αr是AX=0的基础解系。证明α0，α1...αr线性无关。

Answer 1

假设线性相关，那就说明存在不全为0的数组（k1,k2...kr,k0）使得：k1a1+...+krar+k0a0=0。
假如上式中k0=0，那就说明a1...ar线性相关，而已经知道它们是基础解系，故矛盾。所以k0不能等于0.这样a0就可以由a1,...ar线性表出。既然Aai=0，那么必然导致Aa0=0，矛盾。所以a0，a1,...ar必须是线性无关的。

这题实质上是说非齐次的线性方程组的一个特解必须与基础解系无关，这是显然的。因为AX=b的所有解是AX=0的解的一个陪集。既然是陪集，那就意味着AX=b的解集和AX=0的解空间没有任何交集，所以肯定线性无关。