Question

已知函数f(x)=2cos(2ωx+φ)+2(ω>0)的(0<φ<π)图像过点M(3,1)其相邻量最高点和最低点之间的距离为5

1）求f（x）的表达式 （2）求f(X)在x属于[-3\2 ,1]上的最大值，并求出此时x的值

Answer 1

（1）显然f(x)为余弦函数模型，呈周期特征，振幅A=2
因相邻的最高点和最低点的垂直距离为2A=4
则由勾股定理知相邻的最高点和最低点的水平距离为√(5^2-4^2)=3
由此可知最小正周期T=6
于是2ω=2π/T=π/3
即ω=π/6

因点M在f(x)图象上
则1=2cos(π/3+φ)+2
注意到0<φ<π
解得φ=2π/3

所以f(x)=2cos(πx/3+2π/3)+2

（2）当2kπ≤πx/3+2π/3≤2kπ+π时f(x)为减函数
即当6k-2≤x≤6k+1时f(x)为减函数
显然f(X)在x∈[-3/2 ,1]上为减函数
于是f(x)max=f(-3/2)=2cos[π/3*(-3/2)+2π/3]+2=√3+2
此时x=-3/2

Answer 2

A / 2 = 2，A = 4或A/2-（-A / 2）= 2，A = 2（（1）= 2，且0 <φ<π/ 2，则丢弃它） A> 0，ω> 0,0 <φ<π/ 2
T =2π/（2ω）= 2时，（ω）=π
（1）= 2-2cos（2π2φ ）= 2 COS 2φ=φ=π/ 4（如果A = 2，F（1）= 1-COS（2π+2φ）2φ<π，F（1）≠2，因此四舍五入）
函数f（x）= 2-2cos（2πx+π/ 2）
（1）= 2，F（2）= 2 .. F（2008）= 2
（1）+（2）+ ... + F（2008）= 2 *（2008）= 4016