Question

已知函数f(x)=x(x²-ax-3) (Ⅰ)若f(x)在区间【1+,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围；

已知函数f(x)=x(x²-ax-3)
(Ⅰ)若f(x)在区间【1+,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若x=-1/3是f(x)的极值点，求f（x）在[1，4]上的最大值
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)=bx的图像与函数f(x)的图像恰有3个交点？若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由。

Answer 1

f(x)=x(x²-ax-3)

f'(x)=3x^2-2ax-3
(1) 由于f'(x)是开口向上的抛物线
f'(x)=3(x-2a/3)^2-3-4a^2/3
即 2a/3<1 a<3/2
f'(1)>0 a<0
f(x)在区间【1+,+∞)上是增函数，a<0
(2) f'(-1/3)=0
即 3(1/3)^2-2a(-1/3)-3=0
a=4
f'(x)=3x^2-8x-3
=(x-3)(3x+1)
极值点：x=-1/3，x=3
由f'(0)<0，f'(4)>0 可知x=3是f(x)极小值点，x=-1/3是f(x)极大值点
f(1)>f(3)，f(4)>f(3)
f(1)=-6 f(4)=-12 f(3)=-18
f（x）在[1，4]上的最大值：f(1)=-6
(3) 在（Ⅱ）的条件下，即f(x)=x(x²-4x-3)与g(x)=bx的图像有3个交点

即 x(x²-4x-3)=bx 有一交点（0，0）
x²-4x-3-b=0 有两个不同的实根
△=16+4*（3+b)>0
3+b>-4
即 b>-7
当实数b>-7，g(x)=bx的图像与函数f(x)的图像恰有3个交点。