Question

已知f(x)是偶函数，且在区间[0,正无穷大）上是增函数。

（1）解关于x的方程f(ax+2)=f(x-4)
(2)解不等式f(x+2)≥f(x-4)
(3)如果f(ax+2)≥f（x-4）在[1,2]上恒成立，求a的取值范围

重点第三小问 过程要详细！！！

Answer 1

（1）f（x）在[0,+∞）上是增函数且为偶函数，故根据对称性，其在（-∞，0)上是减函数，而现在f（ax+2)=f(x-4)，所以要求ax+2=-（x-4)，
当a≠-1时，x=2/（a+1），当a=-1，f（2-x）=f(x-4)=f(4-x），而4-x>2-x，显然a=-1不成立；
（2）因f(x+2)≥f(x-4)根据增函数性质Ix+2I≥Ix-4I,即（x+2)^2≥(x-4)^2,得到x≥1；
（3）即等价于Iax+2I≥Ix-4I在[1,2]上恒成立，（ax+2)^2≥(x-4)^2，即g（x）=(a^2-1)x^2+(4a+8)x-12≥0；
当a^2>1,开口向上，若极值点x*=（2a+4）/（1-a^2）<1，即a^2+2a+3>0,明显恒满足，则此时要求g（1）≥0，得a≥1或a≤-5；
当a^2<1,开口向下，若极值点x*=（2a+4）/（1-a^2）>2,即2a^2+2a+2>0,明显恒满足，则此时仍要求g（1）≥0，得a≥1或a≤-5，与a^2<1不符，舍去不取；
综上，a≥1或a≤-5

Answer 2

(1) ax+2=4-x
x=2/(1+a) (a不等于-1)
(2) 当x>4 x+2>x-4恒成立
当x<-2 x+2<x-4恒成立
当-2<x<4 f(x+2)≥f(|x-4|)=f(4-x)
x+2>=4-x 4>x>=1
1=<x或x<-2
(3)f(|ax+2|)≥f(x-4)
|ax+2|≥x-4
ax+2≥x-4或ax+2=<4-x
a≥1-6/(x)或a=<2/x-1
x分别取2和1
a≥-2或a=<1