Question

已知函数y=sin2x+sinx+cosx+2，求值域

Answer 1

已知函数y=sin2x+sinx+cosx+2，所以y=2sinxcosx+sinx+cosx+2＝（sinx＋cosx)∧2－1+sinx+cosx+2＝（sinx＋cosx)∧2+sinx+cosx+1＝（sinx＋cosx＋1／2)∧2＋3／4，因为sinx＋cosx≤根号2且大于负根号2，所以当且仅当sinx＋cosx＝﹣1／2时，函数值最小为3／4，当且仅当sinx＋cosx＝根号2时，函数最大值为3﹢根号2，所以函数的值域为3／4≤y≤3﹢根号2

Answer 2

令t=sinx+cosx=√sin（2x+π/4）
所以t属于[-√2,√2]
sin2x=2sinxcosx=(sinx+cosx)^2-1
所以y=t+（t*t-1）/2+2 = 0.5t*t+t+1.5 t属于[-√2,√2]
当x=√2时，y有最大值2.5+√2
x=-1时，有最小值1
所以y值域是[1,2.5+√2]

Answer 3

移项得，y-sin2x=sinx+cosx+2
两边同时平方并整理得（sin2x）²-（2y+6)sin2x-5=0
此乃一条二元一次方程sin2x可当成自变量其范围在-1到1之间。要使等式永远成立则必须保证二次函数y=（sin2x）²-（2y+6)sin2x-5在【-1，1】之间有零点。接下来你就自己求了不懂再问我

Answer 4

答：
y=sin2x+cosx+cosx+2
y=(sin²x+2sinxcosx+cos²x)+(sinx+cosx)+1
y=(sinx+cosx)²+(sinx+cosx)+1
设t=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)∈[-√2,√2]
y=t²+t+1
y=(t+1/2)²+3/4
t=-1/2时取得最小值3/4
t=√2时取得最大值3+√2
值域为[3/4，3+√2]