Question

求双扭线r^2=a^2cos2A围成图形的面积

图形大家网上搜搜吧，应该有的
我的做法是角度A从-π/4到π/4的积分，但是得出是a^2/2,答案的一半。。。
我认真的分析了下，从-π/4到0的过程中确实是两边都产生了图形，0到π/4也是，也就是说-π/4到π/4产生了完整的图形，而且在这个范围内cos2A也是正没有绝对值问题。
求问解法的错误点和正确的思考方式（老师说的就是从-π/4到π/4的积分，但是我想不通为什么要再乘以2，明明是整个函数为何说只积出了一半？）
大一的。。。各位大神求解，装B的就不要来祸害我了

Answer 1

　　问题出在你想当然的 “从-π/4到π/4的积分，明明是整个函数！”上，这里存在一个极坐标方程中极角的取值范围问题，事实上，双扭线r²=a²cos2θ也可以表示为r=±a√(cos2θ) θ∈[-π/4，π/4]或者r=a√(cos2θ) θ∈[-π/4，π/4]∪[3π/4，5π/4]，即原方程中隐含了r=-a√(cos2θ) θ∈[3π/4，5π/4]或r=-a√(cos2θ) θ∈[-π/4，π/4]的部分。如果笼统的按照你的定积分进行积分，则忽略了双扭线r²=a²cos2θ中r=-a√(cos2θ) θ∈[-π/4，π/4]或者r=a√(cos2θ) θ∈[3π/4，5π/4]的部分。解题中特别是极坐标方程的积分问题中要特别注意这个问题，一个万能的解决办法是如果是对称图形则只考虑第一或某一象限的图形然后乘倍即可。
　　希望可以帮到你，不懂可以追问！

追问

我肯定不是想当然啊，我上面说了从0到π/4的过程中，认真分析的话应该产生的图形是两部分，一部分在第一象限，一部分在第二象限，所以我说“从-π/4到π/4的积分，明明是整个函数！”
对你这句话“双扭线r²=a²cos2θ也可以表示为r=±a√(cos2θ) θ∈[-π/4，π/4]或者r=a√(cos2θ) θ∈[-π/4，π/4]∪[3π/4，5π/4]”有疑问，为什么是或不是和？难道y=a^2的图像是y=-a [x∈(-∞，0)]或y=a [x∈(0,+∞)]？

追答

　　呵，依据极坐标系对平面点的定义，双扭线r²=a²cos2θ也可以表示为r=±a√(cos2θ) θ∈[-π/4，π/4]或者r=a√(cos2θ) θ∈[-π/4，π/4]∪[3π/4，5π/4]，也就是说r²=a²cos2θ在开方时会产生正、负两部分，即r=a√(cos2θ) θ∈[-π/4，π/4]和r=-a√(cos2θ) θ∈[-π/4，π/4]两部分，其中r=-a√(cos2θ) θ∈[-π/4，π/4]也可以表示为r=a√(cos2θ) θ∈[3π/4，5π/4]，二者等价，原因是当平面上的点在极角的反向延长线上时极径取负值（极坐标系对平面点的定义）。
　　不懂可以继续追问！

追问

你的极坐标的定义我好像懂了。。但是问题本身还是没有想通：
r²=a²cos2θ等价于r=±a√(cos2θ) θ∈[-π/4，π/4]两者应该在积分中也同时存在！意思是在从0到π/4的过程中，产生了两部分：r=a√(cos2θ),θ∈[0，π/4]和r=-a√(cos2θ)，θ∈[π，5π/4],也就是你说的那个r=±a√(cos2θ) θ∈[0，π/4]吧。
你们的想法仿佛是只产生1/4的图像，而我觉得是上诉两部分组成，我的理解是这样的

追答

　　你说的没错，r²=a²cos2θ等价于r=±a√(cos2θ) θ∈[-π/4，π/4]两者应该在积分中同时存在！但当你写出被积式(r²/2)dθ=[(a²cos2θ)/2]dθ及把积分区间选为[-π/4，π/4]时，往往容易或者已经忽略掉了隐含的被积式为(r²/2)dθ={[-a√(cos2θ)]²/2}dθ，积分区间选为[-π/4，π/4]的部分。也就是极径取负值-a√(cos2θ)、平面上的点在极角θ∈[-π/4，π/4]的反向延长线上（即相当于极角取θ∈[3π/4，5π/4]）的部分。所以，为了避免一不小心漏掉本该有的部分，才提出了“对称图形则只考虑第一或某一象限的图形然后乘倍”的策略，正如解分式方程需要检验增根一样。
　　数学就是这样，有时候就需要多一个以上步骤或者换种思维来解决，这样表面上可能貌似不够友好顺当让人纠结，但却真能使问题的解决更容易，事实上，这才是问题的解决之道，才能体现“数学乃思维体操”之功效。
　　ps：不太好说清楚，但还是希望你能体悟，欢迎继续追问！

Answer 2

其实，我想说的是你钻牛角尖了。
这个函数是对称图形，因此只需要将[0，π/4]的面积积出来，再乘以4即可。

追问

可是就算是我从0到π/4的面积积分出来，我还是认为是2分之一的原图形，原因可以参考一下楼下的解释。。。换句话说我认为乘以2即可。。但是就不知道为何要乘以4

追答

你的积分是[0，π/4]，而一个圆周是2π呀，从图形上很容易看出来要乘以4

追问

晕。。。。我说了你看下我的分析过程，要是那么简单的想我就不问了=。=
我觉得积分从0到π/4的积分是产生两部分的面积的，因为我认为0到π/4的原图形就有两个象限的图形

追答

[0，π/4]，对于这个题目来讲，也就是2θ∈[0，π/2]

也就是第一象限的部分，怎么会有两部分呢？

追问

我想原图形是当θ取0到π/4的时候，产生了第一象限和第三象限的图像，具体你可以取特殊点π/6就知道r=±两部分，就是图像同时产生了两块
所以我想问为什么积分的时候面积不积分两块的面积

追答

你的理解不对，r只能是正的，不能是负的。虽然写的是r^2，但r只能是正的。

追问

但是极坐标里明显是有﹣的，正如楼下r=-a√(cos2θ) θ∈[-π/4，π/4]也可以表示为r=a√(cos2θ) θ∈[3π/4，5π/4]，二者等价，极坐标的表示本身是可以有正负的，而且正负取决于你选的正方向

追答

呵呵，我还是头一次听说过，极坐标里有负的极径的。
θ∈[0，2π]，2θ∈[0,4π]

其中有4个π/4区间无意义，有4个π/4区间有意义
这个图象的画法是先画一象限，再画3象限，再画2象限，再画4象限，是cos2θ转了两圈，不是一圈完成的。

追问

我的书上说的有负值当它与直角坐标系比较时，坐标之间的转化。其中有的有负值，用的是对称。大多数情况是正值个别情况为了简便可以取负，而且取±不影响我的问题，我可以说在0到π/4产生了r=a√(cos2θ) θ∈[0，π/4]也可以表示为r=a√(cos2θ) θ∈[3π/4，5π/4]两部分， 我觉得其实定义域应该只有-π/4到π/4或者[3π/4，5π/4]
还有不清楚你的回答中cos2θ转圈的意思，请在百度HI密我，我才发现这追问要花财富值=。=

追答

极坐标不存在负值的，你再看看书吧