Question

∫[e^(2x)]cosxdx 这个积分怎么积？

∫[e^(2x)]cosxdx 这个积分怎么积？
这是个定积分
上限是2π, 下限是0
你们就把这个不定积分求出来就行了

Answer 1

利用分部积分法
∫[e^(2x)]cosxdx
=(1/2)[e^(2x)]cosx-∫(1/2)[e^(2x)](-sinx)dx
=(1/2)[e^(2x)]cosx+(1/4)[e^(2x)]sinx-∫(1/4)[e^(2x)]cosxdx
注意到,左右都有一个要求的积分,移项得
(5/4)∫[e^(2x)]cosxdx
=(1/2)[e^(2x)]cosx+(1/4)[e^(2x)]sinx
所以
∫[e^(2x)]cosxdx
=(2/5)[e^(2x)]cosx+(1/5)[e^(2x)]sinx
=(1/5)[e^(2x)](2cosx+sinx)

Answer 2

解：为了方便解题设i=∫e^(2x)cosxdx
∵i=e^(2x)sinx-2∫e^(2x)sinxdx
(应用一次分部积分)
=e^(2x)sinx-2[-e^(2x)cosx+2∫e^(2x)cosxdx]
(再应用一次分部积分)
=e^(2x)sinx+2e^(2x)cosx-4∫e^(2x)cosxdx
=e^(2x)sinx+2e^(2x)cosx-4i
∴i=e^(2x)sinx+2e^(2x)cosx-4i==>5i=e^(2x)sinx+2e^(2x)cosx
∴i=(sinx+cosx)e^(2x)/5
故∫e^(2x)cosxdx=(sinx+cosx)e^(2x)/5