Question

如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过O(0,0)

如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过O（0，0），A（4，0），B（3，根号3）三点，连结A,B，过点B作BC平行x轴交抛物线于点C。（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）两个懂点P，Q分别从O、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度运动。其中，点P沿线段OA向A点向A点运动，点Q沿折线A→B→C的路线向C点运动．设这两个动点运动的时间为t（秒）（0＜t＜4），△PQA的面积记为S。求S与t的函数解析式。

Answer 1

(1)
经过O, A(4, 0), 可表达为y = ax(x - 4)
经过B(3, √3): -3a = √3
a = -√3/3, b = 4√3/3
抛物线的函数解析式: y = -√3/3(x² - 4x)

(2)

t秒时: P(t, 0)
(i) Q在AB上
AB的解析式: (y - 0)/(√3 - 0) = (x - 4)/(3 - 4), y = -√3(x - 4)
AB = √[(3 - 4)² + (√3 - 0)²] = 2
0 < t < 2

设Q(q, -√3(q - 4)), 显然0 < q < 4

AQ² = OP² = t² = (q - 4)² + [-√3(q - 4) - 0]² = 4(q - 4)²
q = 4 - t/2 (舍去q = 4 + t/2)
Q(4 - t/2, √3t/2)
S = (1/2)PA*Q的纵坐标 = (1/2)(4 - t)*√3t/2 = √3(4 - t)t/4

(ii)Q在BC上
2 < t < 4

QB = t - AB = t - 2, Q的横坐标 = B的横坐标 - QB = 3 - (t - 2) = 5 - t
Q(5 - t, √3)
S = (1/2)PA*Q的纵坐标 = (1/2)(4 - t)√3 = √3(4 - t)/2