Question

已知数列an满足a1=1/2,an=an-1/(-1)^n*an-1-2.(n>=2,n属于N+).

（1）试判断数列(1/an+(-1)^n)是否为等比数列，说明理由i
（2）设bn=1/an^2,求数列bn的前n项和Sn。
（3）设cn=an*sin(2*n-1)*π/2,数列cn的前n项和Tn。求证：对任意的n属于N+，Tn<2

Answer 1

第一题， 两边取倒数，(1/an)+(-1)^n=-2[(-1)^n-1 +1/a(n-1)] 是等比数列
根据第一题，能求出来1/an^2的通项公式为 2^(2n-2) +1 +2^n 利用等比数列求和即可
第三题 注意到sin(2*n-1)*π/2= （-1）^(n-1) 所以cn= 1/(2^(n-1) +1) < 1/2^(n-1)
两边求和，有Tn<1+1/2 +1/2^2 +..... +1/2^(n-1) = 2-1/2^(n-1) <2 成立