Question

线性代数中线性无关的题目，麻烦了！

Answer 1

令A=[a1,a2,a3,...,ar]。因为a1....ar线性无关，所以A是列满秩的。
说白了，这问题的实质就是XA=0有一个解是b(b是行向量)，b和r个n维向量点积都是0，这就是说b和这r个n维列向量都是正交的。。。。既然都正交了那必然线性无关喽。

如果要按一般方法证明的话，可以假设k1a1+...+krar+k0beta=0 （*）式
给（*）式两边乘以a1的转置，就得到了k1a1T*a1+...+kra1T*ar=0
这里因为a1T*beta=0，所以本来的最后一项就没有了。
同理，给（*）式两边乘以ai的转置（1<=i<=r），就得到了k1aiT*a1+...+kraiT*ar=0
恰好得到了一个关于K=(k1,k2,...,kr)的r元1次方程组AT*A*K=0
注意到AT*A也是可逆的（一方面r(AT*A)<=min[r(A),r(AT)]=r，另一方面在AT中取r个线性无关的列，拼成A1。则r(A1*A)=r(A)=r，所以r(AT*A)>=r(A)。综上只能有r(AT*A)=r，即方阵AT*A是满秩的，是可逆的），所以推出了K只能等于0.
证毕