Question

函数f(x)=-ax^2+4x+1的定义域为[-1,2]（1）若a=2，求函数f(x)的值域；

函数f(x)=-ax^2+4x+1的定义域为[-1,2] （1）若a=2，求函数f(x)的值域；
（2）若a为非负数，且函数f(x)是[-1,2]上的单调函数，求a的范围及函数f(x)的值域。

Answer 1

(1) a=2 f(x)=-2x^2+4x+1=-2(x-1)^2+3
函数定义域为[-1,2],x=1是函数取得最大值3，当x=-1时函数取得最小值-5
因此函数值域为[-5,3]

(2) 首先，a=0时，函数始终单增，函数值域为[f(-1),f(2)]=[-3,9]
当a≠0时，f(x)=-a(x^2-4x/a+4/(a^2))+4/a+1
=-a(x-2/a)^2+4/a+1
由于a非负，可知函数图像开口向下，要使函数f(x)是[-1,2]上的单调函数
则应有-1>=2/a或2<=2/a
-1>=2/a时a<=-2, 由于a非负，此情形与题意不符！
2<=2/a时0<a<=1,此时[-1,2]在函数对称轴左端，其是函数的单增区间，因此函数值域为
[f(-1),f(2)]=[-a-3,9-a]

Answer 2

解：∵f(x)=-ax^2+4x+1
=-a[x-(2/a)]^2+(4+a)/a
∴当a=2时，f(x)=-2(x-1)^2+3；
此时，f(x)以x=1为对称轴，以（1,3）为顶点且开口向下的抛物线；
又x∈[-1,2]
∴x∈[-1,1]上是增函数，f（-1)=-5,f(1)=3；
x∈[1,2]上是减函数，f(2)=1
∴f(x)∈[-5,3]。
若a>0，f(x)以x=2/a为对称轴、以（2/a，3）为顶点且开口向下的抛物线；
又函数f(x)在[-1,2]上是单调函数；
∴2/a≥2，即：0<a≤1时，f(x)≤3。

Answer 3

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