Question

函数f(x)=-ax^2+4x+1的定义域为[-1,2]（1）若a=2，求函数f(x)的值域；

函数f(x)=-ax^2+4x+1的定义域为[-1,2] （1）若a=2，求函数f(x)的值域；
（2）若a为非负数，且函数f(x)是[-1,2]上的单调函数，求a的范围及函数f(x)的值域。

Answer 1

（1）f(x)=-ax^2+4x+1=-a(x^2-2*2/a*x+4/a^2)+1+4/a=-a(x-2/a)^2+1+4/a
若a=2，则f(x)=-2(x-1)^2+3
f(-1)=-5,
f(2)=1,
x=1时，f(x)取得最大值：f(1)=3。
故f(x)的值域为[-5,3]。

（2）由（1）可知，函数f(x)的对称轴为x=2/a。
当a为非负数，且函数f(x)是[-1,2]上的单调增函数，可知二次函数f(x)的对称轴x=2/a≥2，即a≤1；
此时，f(x)的值域：[f(-1),f(2)]，即[-a(-1-2/a)^2+1+4/a,-a(2-2/a)^2+1+4/a]
当a为非负数，且函数f(x)是[-1,2]上的单调减函数，可知二次函数f(x)的对称轴x=2/a≤-1，即a＞0；
此时，f(x)的值域：[f(2),f(1)]，即[-a(2-2/a)^2+1+4/a,-a(-1-2/a)^2+1+4/a]
当a=0时，函数为一次函数，在[-1,2]范围内为单调增函数
此时，f(x)的值域：[f(-1),f(2)]，即[-3,9]
即a的取值范围：[0,1]
f(x)的值域，分别如以上分析。

Answer 2

1）若a=2，函数f(x)的值域[-5,3]
a的范围:-2<=a<=1