Question

已知f(x)=sin2x-2cos²x+3，求 函数的最大值及取得最大值时x值得集合 ，函数的单调递增区间

及满足f(x)>3的x的集合

Answer 1

f(x)=sin2x -2cos²x+3
=sin2x-[1+cos(2x)]+3
=sin2x-cos(2x)+2
=√2sin(2x- π/4)+2
sin(2x-π/4)=1时，f(x)有最大值[f(x)]max=2+√2
此时，2x-π/4=2kπ+π/2 (k∈Z)
x=kπ+3π/8 (k∈Z)
x的集合为{x|x=kπ+3π/8 ，k∈Z}
2kπ-π/2≤2x- π/4≤2kπ+π/2 (k∈Z)时，函数单调递增。
kπ-π/8≤x≤kπ+3π/8 (k∈Z)
函数的单调递增区间为[kπ-π/8，kπ+3π/8] (k∈Z)
f(x)>3
√2sin(2x- π/4)+2>3
sin(2x-π/4)>√2/2
2kπ+3π/4<2x-π/4<2kπ+π/4 (k∈Z)
kπ+π/2<x<kπ+π/4 (k∈Z)
x的集合为{x|kπ+π/2<x<kπ+π/4，k∈Z}。

Answer 2

换元，把cos^2换成1-sin^2x再把sin^2x换成t