Question

已知:sinx+siny=1/2.

(1)求u=3sinx-cos²y的最大值和最小值；
(2)求t=asinx-cos²y(其中a∈R)的最小值

Answer 1

首先先将条件变形 siny = 1/2-sinx根据sin²y+cos²y=1可以得到cos²y = (1/2-siny)²带入到（1）试中得u=3sinx-(1/2-siny)²拆平方得u=sin²x+2sinx+1/4 用t=sinx做替换，得到u=t²+2t+1/4 因为-1=<sinx=<1可知-1=<t=<1因为u=t²+2t+1/4在区间-1=<t=<1为单调增函数（你可以画函数图，画出后你可以知道在t=-1时最小，t=1时最大）最小为-3/4最大为5/4

2）方法类似可得到t=sin²x+(a-1)sinx+1/4用y=sinx做替换得到t=y²+(a-1)y+1/4区间依旧是-1=<y=<1这个时候因为a为未知数，所以需要讨论（这种问题中考经常出现，建议多做练习）这个问题的关键在与-b/2是否在区间范围内即-(a-1)/2=<-1和-1<-(a-1)/2<1和-(a-1)/2>=1三个范围进行讨论
第一种解出a>=3时函数在区间-1=<y=<1单调递增，最小值为y=-1时t=9/4-a
第二种解出-1<a<3时函数在y=-(a-1)/2时取最小为t=(2a-a²)/4
第三种解出a=<-1时函数在区间-1=<y=<1单调递减在y=1时最小为t=a+1/4