Question

（2011•淮安）如图．已知二次函数y=-x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B．

（1）求此二次函数关系式和点B的坐标；（2）在x轴的正半轴上是否存在点P．使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）把点A（4，0）代入二次函数有：0=-16+4b+3得：b=
13/4所以二次函数的关系式为：y=-x 2 + 13/4x+3．当x=0时，y=3∴点B的坐标为（0，3）．（2）如图：作AB的垂直平分线交x轴于点P，连接BP，则：BP=AP设BP=AP=x，则OP=4-x，在直角△OBP中，BP 2 =OB 2 +OP 2即：x 2 =3 2 +（4-x） 2解得：x=25/8∴OP=4-25/8 =
7/8所以点P的坐标为：（ 7/8，0）

Answer 2

（1）将（4,0）代入得到，0=-16+4b+3得出b=13/4,所以y=-x2+13x/4+3,将x=0代入得到y=3，则B(0,3)
(2)设存在P(a ,-a2+13a/4+3),AB的斜率为-3/4,所以OP的斜率为4/3,则有（-a2+13a/4+3)/a=4/3,用求根公式求出a即可。