Question

一个关于线性代数转置矩阵的问题

已知B、C分别是两个四阶矩阵
A(I4-C^(-1)B)^TC^T=I4，求A
I4是四阶单位矩阵，这个式子用语言表述就是A乘以【（四阶单位矩阵减去C的逆矩阵乘以B）的转置】再乘以C的转置等于四阶单位矩阵，求A
QAQ这个题目实在太复杂。。。看不明白的可以看看图片。。。

我看到后面的过程是可以化简的，不是硬算的

最后化简成（C-B）A的转置等于四阶单位矩阵，A的转置等于（C-B）的逆矩阵
可是不知道是怎么出来这个结果的，谁能给解答一下，感激不尽！！！
回答出来再加十分！！！！！！

Answer 1

两侧同时右乘CT的逆矩阵得到
A(I-C'B)T =CT' ('表示逆）
两侧同时转置得到
(I-C'B)AT =C'
两侧同时左乘(I-C'B)的逆得到
AT= (I-C'B)'C'
同时转置得到A=C'T(I-C'B)'T
这样解答要求所有矩阵都可逆，且I-C'B可逆，你题目中并没有，所以题目是有瑕疵的

追问

基本都看懂了，不过那个两边同时转置是有神马公式的吗？
是不是AB的转置等于(AB)T=BT*AT
再想问一下ABC的转置是不是等于（ABC）T=CT*BT*AT

追答

者是基本公式

Answer 2

首先，我们知道(A+B)T=(AT+BT)
原式化为
A(ET-[(C^-1)B]T)CT=E
然后我们知道(AB)T=BTAT，而E的转置还是E
所以继续化简得到
A(E-BT(C^-1)T)CT=E

然后我们知道，(C^-1)T=(CT)^-1，即C的逆的转置等于C转置的逆。
继续化简
A(E-BT(CT)^-1)CT=E

然后把CT乘进去得
A(CT-BT(CT)^-1CT)=E

A(CT-BT)=E

然后由第一步(A+B)T=(AT+BT)
把转置符号再提出来，得到
A(C-B)T=E

两边右乘(C-B)T的逆，当然你这里没说(C-B)T可逆，只能默认了。实际上题目应该给出
A=[(C-B)T]^-1

如果你一定要化成你所说的
A的转置等于（C-B）的逆矩阵,

两边同时转置
AT=（[(C-B)T]^-1）T
然后AT=(C-B)^-1

Answer 3

首先, (I_4-C^{-1}B)^TC^T=[C(I_4-C^{-1}B)]^T=(C-B)^T.
其次, 由已知有A(C-B)^T=I_4. 于是A=[(C-B)^T]^{-1}=[(C-B)^{-1}]^T.

注: (AB)^T=B^TA^T, (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.