Question

已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx(a,b为常数）在x= -1,x=3处的导数值为0

（1）求a,b的值
（2）求曲线y=f(x)上一点P（1，y)的切线方程
（3）求f(x)的单调递增区间

Answer 1

(1)
f(x)=x^3-ax^2+bx
f'(x)=3x^2-2ax+b
f'(-1)=3+2a+b=0 1
f'(3)=27-6a+b=0 2
1式-2式得
-24+8a=0
a=3 3
3式代入1式得
b=-9

(2)
f(x)=x^3-3x^2-9x
y(1)=1-3-9=-11
y'=3x^2-6x-9
k=y'(1)=3-6-9=-12
所以切线方程是
y+11=-12(x-1)
y=-12x+12-11
=-12x+1

(3)
f(x)=x^3-3x^2-9x
f'(x)=3x^2-6x-9=0
x^2-2x-3=0
(x-3)(x+1)=0
x=3 x=-1
当x<-1时
f'(x)>0
所以在区间(-∞,-1)为增区间
当 -1<x<3时
f/(x)<0
所以在区间(-1,3)为减区间
当x>3时
f'(x)>0
所以在区间(3,+∞)为增区间

Answer 2

解（1）f′（x)=3x^2-2ax+b.。
∵x= -1,x=3处的导数值为0
∴3+2a+b=0 27-6a+b=0
∴a=3 b=-9
(2)x=1时，y=x^3-3x^2-9x=-11 y′=3x^2-6x-9=-12∴P(1，-11),
故切线：y=-12*(x-1)-11=-12x+1
(2)令y′=0得：x=3或者-1
当x<-1或者x>3时，y′>0，∴单调递增。

Answer 3

（1）函数f(x)=x^3-ax^2-bx+c在x=-2/3与x=1时都取得极值，说明导函数在这两点的函数值为0，由于f'(x)=3x^2-2ax-b，所以有4/3+4/3a-b=0；3-2a-b=0，解得a=1/2 ； b=2 。
（2）p（1,5/2），切线方程就是y=5/2
（3）f'(x)=3x^2-x-2，x<-2/3或x>1时，f(x)单调递增。