Question

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=3,BC=2,D是BC的中点,F是CC1上一点,且CF=2，E是AA1上一点，且AE=2

（1）求证：B1F⊥平面ADF （2）求证：BE∥平面ADF

Answer 1

（1） 因为 AB＝AC， D为BC的中点
所以AD⊥BC 又在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AD平面ABC,
所以AD⊥BB1
又BCBB1＝B
所以AD⊥平面BCC1B1
又B1F平面BCC1B1
所以AD⊥B1F, 在矩形BCC1B1中， C1F＝CD＝1, CF＝C1B1＝2
所 以Rt△DCF≌Rt△FC1B1
,所以∠CFD＝∠C1B1F
所以 ∠B1FD＝90° ,
所以B1F⊥FD
又ADFD＝D,
所以B1F⊥平面ADF.
（2） 连结EF, EC, 设ECAF＝M, 连结DM
因为AE＝CF＝2
又AE∥CF, AC⊥AE
所以 四边形AEFC是矩形
所以M为EC中点
又D为BC中点
所以 MD∥BE
因为MD 平面ADF, BE平面ADF
所以BE∥平面ADF