Question

2012.宁夏 如图在矩形ABCD中,AB=2,AD=3

（2012•宁夏）在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E．
（1）连接AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；
（2）若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式．当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
（3）若PE∥BD，试求出此时BP的长．

Answer 1

解：（1）由题意得：AP=AD=3
在直角三角形ABP中，由勾股定理得：BP=根号5。
（2）由题设可证△ABP∽△PCE，
所以有AB/BP=PC/CE
代入得2/x=(3-x)/y
化简得y=(-x2+3x)/2
根据二次函数求得：当x=3/2时，y的值最大，最大值是9/8。
（3）因为PE∥BD
所以△BCD∽△PCE
所以BC/PC=DC/EC即3/（3-x）=2/y
解得x=4/3或x=3(舍去)
即当BP=4/3时，PE∥BD。