Question

设函数f(x)定义在R+上,对任意的m,n∈R+,恒有f(mn)=f(m)+f(n),且当x>1时,f(x)<0。试解决以下问题

(1) 求f(1)的值，并判断f(x)的单调性
(2)若0<a<b,满足f(a)的绝对值=f(b)的绝对值=2f((a+b)/2)的绝对值，求证3<b<2+根号2

Answer 1

令m=n=1,f(1)=f(1)+f(1),得到f(1)=0
设x1>x2>0,则有x1/x2>1,f(x1/x2)<0
f(x1)=f(x1/x2*x2)=f(x1/x2)+f(x2)
f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)<0
f(x1)<f(x2)
故函数在(0,+无穷)上是减函数.
(2) |f(a)|=|f(b)|=2|f[(a+b)/2]|
故有f(a)=-f(b)或f(a)=-2f[(a+b)/2]或f(b)=-2f[(a+b)/2]且0<a<b
所以f(ab)=0=f(1)
即有ab=1,a=(a+b)^2/4或a=4/(a+b)^2
若4a=(a+b)^2
则a^2+b^2+2=4a>2ab+2=4(均值不等式）,a>1但ab=1
所以b=1/a<1，故b<a与a<b矛盾
所以a(a+b)^2=4
即a^2+b^2+2=4b<b^2+3
b^2-4b+3>0
所以b>3
b^2-4b+a^2-2=0
解得b=2+(2+a^2)^(1/2)<2+根号2,b=2-(2+a^2)^(1/2)<2舍去
综上有3<b<2+根号2