Question

椭圆x²/4+y²=1与直线l交于两点M,N，且AM⊥AN，求证l过定点。

A是椭圆的右顶点

Answer 1

x²/4+y²=1右顶点A(2,0)
l无斜率时，设l：x=t (t≠2)
代入x²/4+y²=1得：
y²=1-t²/4
∵AM⊥AN∴|y|=2-t
y²=t²-4t+4
1-t²/4=t²-4t+4
5t²-16t+12=0
t=6/5或t=2(舍去）
l过(6/5,0)
l有斜率时，设直线l方程：
y=kx+m,l不过A(2,0),m≠-2k

y=kx+m代入x²/4+y²=1得：
x²/4+(kx+m)²=1
即(4k²+1)x²+8kmx+4m²-4=0
Δ=64k²m²-16(m²-1)(4k²+1)>0
==> m²<4k²+1
设M(x1,y1),N(x2,y2)
则x1+x2=-8km/(4k²+1)
x1x2=4(m²-1)/(4k²+1)
∵AM⊥AN
∴向量AM●AN=0
即(x1-2,y1)●(x2-2,y2)=0
∴(x1-2)(x2-2)+y1y2=0
(x1-2)(x2-2)+(kx1+m)(kx2+m)=0
∴(1+k²)x1x2+(mk-2)(x1+x2)+m²+4=0
∴(1+k²)*4(m²-1)/(4k²+1)-(mk-2)*8km/(4k²+1)+m²+4=0
∴4(1+k²)(m²-1)-8(mk-2)km+(4k²+1)(m²+4)=0
4(k²m²+m²-k²-1)-8k²m²+16km+4k²m²+16k²+m²+4=0
5m²+16km+12k²=0
(5m+6k)(m+2k)=0
∵m+2k≠0
∴5m+6k=0, m/k=-6/5
l方程中令y=0得x=-m/k
∴l与x轴交点为定点(6/5,0)
综上，总有l过定点(6/5,0)

Answer 2

A是什么？