Question

已知an为公比为正数的等比数列,a1=3,a3=2a2+9 （1）求an通项公式（2）

（2）设bn=log3a1+log3a2+log3a3+...+log3an,求数列1/bn的前n项和sn

Answer 1

解：
(1)
设公比为q，则q>0
a3=2a2+9
a1q²=2a1q+9
a1=3代入，整理，得
q²-2q-3=0
(q+1)(q-3)=0
q=-1(<0，舍去)或q=3
an=a1q^(n-1)=3×3^(n-1)=3ⁿ
数列{an}的通项公式为an=3ⁿ。
(2)
log3(an)=log3(3ⁿ)=n
bn=log3(a1)+log3(a2)+...+log3(an)
=1+2+...+n
=n(n+1)/2
1/bn=2/[n(n+1)]=2[1/n -1/(n+1)]
Sn=1/b1+1/b2+...+1/bn
=2[1-1/2+1/2-1/3+...+1/n -1/(n+1)]
=2[1- 1/(n+1)]
=2n/(n+1)。