Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+1(a>0,b∈R) 设方程f(x)=x 有两个实数根x1 x2

如果0<x1<2，且f(x)=x的两实根相差2。求实数b的取值范围

Answer 1

由题设令g（x）=f（x）-x=ax2+（b-1）x+1=0，知x1x2=1
a ＞0，故x1与x2同号．
①若0＜x1＜2，则x2-x1=2（负根舍去），
∴x2=x1+2＞2．
∴g(2)＜0g(4)＞0 ，即4a+2b-1＜0 ①
16a+4b-3＞0 ②
①×4-②得4b-1＜0，∴b＜1/4
②若-2＜x1＜0，则x2=-2+x1＜-2（正根舍去），

g(-2)＜0g(-4)＞0 ，即4a-2b+3＜0 (1)
16a-4b+5＞0 (2)
（1）×4-（2）得-4b+7＜0，∴b＞7/4
综上，b的取值范围为b＜1/4 或b＞7/4 ．
如果对你有帮助，望采纳，谢谢。

Answer 2

g(x)=f(x)-x=0
g(x)=ax^2+(b-1)x+1=0
此方程的两根一个为x1, 另一个为x1+2或x1-2
因为a>0, 两根积为1/a>0, 所以两个都为正根
因此x2=x1+2
x1(x1+2)=1/a，
x1+x1+2=(1-b)/a=(1-b)x1(x1+2), 得：b=1-2(x1+1)/[x1(x1+2)]y
令t=x1+1， 则b=1-2t/[(t-1)(t+1)]=1-2/(t-1/t)
因1<t<3, t-1/t为单调增函数，0<t-1/t<8/3, 因此b<1/4

Answer 3

用伟达定理