Question

已知函数f(x)＝9x／(x^2＋x＋1) (x＞0)确定f(x)的单调区间并证明(2)若0＜x≤1时不等式f(x)≤m(m－2)恒成立

Answer 1

解：（1）f(x)=9x／(x^2＋x＋1) (x＞0)
=9/(x+1/x+1)
=9/[(√x-1/√x)^2+3]
当0<x≤1时，
f(x)=9/[(1/√x-√x)^2+3]，1/√x-√x≥0且随x的增大而减小，故f(x)严格单增；
当x>1时，
f(x)=9/[(√x-1/√x)^2+3]，√x-1/√x>0且随x的增大而增大，故f(x)严格单减。
故单增区间为(0,1]，单减区间为(1,+∞)。
证明过程已给。
（2）若0＜x≤1时不等式f(x)≤m(m－2)恒成立，求m得取值范围。
只需当0＜x≤1时f(x)的最大值小于等于m(m－2)即可。
因f(x)在区间(0,1]单增，故最大值f(x)max=f(1)=9/3=3
故只需
3≤m(m-2)
解得m≤-1或m≥3