Question

在△ABC内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P，Q分别在边BC，CA上，并且AP，BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线。

求证：BQ+AQ=AB+BP

Answer 1

∠BAC＝60°∠ACB＝40°，∠ABC＝80°

BQ平分∠ABC，∠ABQ＝∠CBQ＝40°，∠BQA＝80°

过P作PD／／BQ交AC于D，，∠PDA＝∠ABC＝80°

AP平分∠BAC，∠BAP＝∠DAP，AP＝AP

∴△ABP≌△ADP，∴AB＝AD，BP＝DP，

∵∠QBC＝∠BCQ＝40°，∴BQ＝CQ，∴BQ+AQ=CQ＋AQ＝AC

∵PD／／BQ，∠QBC＝∠DPC＝∠BCQ＝40°，∴PD＝CD＝BP，

∴AB＋BP＝AD＋CD＝AC，

∴BQ+AQ=AB+BP

Answer 2

设AP与BQ交与点O，过O点作BC的平行线交AC与点D
∵∠BAC=60°，∠ACB=40°
∴∠ABC=80°
∵AP，BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线
∴∠BAP=30°，∠ABQ=40°
∴∠AOB=110°
∴∠AOQ=70°
∴∠BOP=70°
∵∠PAC=30°，∠ACP=40°
∴∠APC=110°
∴∠BPA=70°
∵∠BOP=∠BPA
∴△BPO为等腰三角形
∴BP=BO
∵OD∥BC
∴∠AOD=∠APC=110°，∠ADO=∠ACP=40°
∵∠BAO=∠DAO，∠AOB=∠AOB，且AO=AO
∴△AOB≌△AOD
∵∠BOD=∠AOD-∠AOQ=110°-70°=40°=∠AOD
∴△DOQ为等腰三角新且QO=QD
∴AD+BO=AB+BP即AQ+BQ=AB+BP