Question

若二次函数f（x）=ax²+bx+c满足f（x+1）-f（x）=2x-1，且f（0）=3

是否存在实属m,使不等式mf(x)+2(m-1)(x-2)<3对任意x属于R恒成，并说明理由

Answer 1

f（x+1）-f（x）=2x-1
a(x+1)²+b(x+1)+c-(ax²+bx+c)=2x-1
2ax+a+b=2x-1
因为上式对任意x都成立，故由待定系数法，有
2a=2且a+b=-1
解得a=1，b=-2
又f(0)=3，得c=3
所以，f（x）=x²-2x+3

mf(x)+2(m-1)(x-2)<3
m(x²-2x+3)+2(m-1)(x-2)<3
即mx²-2x+1-m<0
因为，不等式mf(x)+2(m-1)(x-2)<3对任意x属于R恒成立
所以，m<0且△<0
解得，m无解
故不存在实数m，使不等式mf(x)+2(m-1)(x-2)<3对任意x属于R恒成立