Question

数列{an}中,a1=2,an+1=2an+2^n+1,(n∈N*)证数列{an/2n}是等差数列 数列{an}的通项公式，数列{an}的前n项和

Answer 1

a(n+1)=2an +2^(n+1)
等式两边同除以2^(n+1)
an/2^(n+1) =an/2^n +1
an/2^(n+1) -an/2ⁿ =1，为定值。
a1/2=2/2=1
数列{an/2ⁿ}是以1为首项，1为公差的等差数列。

an/2ⁿ=1+(n-1)=n
an=n×2ⁿ
数列{an}的通项公式为an=n×2ⁿ

Sn=a1+a2+...+an=1×2+2×2²+3×2³+...+n×2ⁿ
2Sn=1×2²+2×2³+...+(n-1)×2ⁿ+n×2^(n+1)
Sn-2Sn=-Sn=2+2²+2³+...+2ⁿ-n×2^(n+1)
=2×(2ⁿ-1)/(2-1)-n×2^(n+1)
=2^(n+1) -2 -n×2^(n+1)
=(1-n)×2^(n+1) -2
Sn=(n-1)×2^(n+1) +2。