Question

已知向量OA=(1,2)向量OB=(3,-2)向量OC=(5-m,-3-m)

（1）若点A,B,C能够成三角形，求实数m应满足的条件
（2）若∠A为锐角，求实数m所满足的条件 谢谢回答

Answer 1

（1）向量AB=OB-OA=(2,-4)，|AB|=√(2^2+4^2)=2√5；
向量BC=OB-OC=(2-m,-1-m)，|BC|=√[(2-m)^2+(-1-m)^2]=√(2m^2-2m+5)；
向量CA=OA-OC=(m-4,5+m)；|CA|=√[(m-4)^2+(5+m)^2]=√(2m^2+2m+41)=√[2(m+1/2)^2+81/2]≥9/√2；
因|CA|>|AB|，当m>-9时，|CA|>|BC|，若构成三角形只须|CA|<|AB|+|BC|；
即√(2m^2+2m+41)<√(2m^2-2m+5)+2√5；
化简上式：(m-1)^2>0；只要m≠1，左式恒成立，A、B、C就可构成三角形；

若|BC|>|CA|，ABC若为三角形只有|BC|>|CA|+|AB|，即√[2(m-1/2)^2+9/2]>√[2(m+1/2)^2+81/2]+2√5；
化简得：(m-1)^2<0，此式无法成立，|BC|不是最长边；

综上，当m>-9且m≠1式时，|CA|>|AB|+|BC|，A、B、C三点可构成三角形；

（2）若要求∠A为锐角，则cos∠A>0，因为|BC|不是三角形ABC的最长边，条件自然满足，对m的要求与（1）相同；