Question

设函数f（x）对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）且当x＞0时，f（x）＞o

1）证明f(x)是奇函数
2）证明在f(x)是R上的增函数
3）若f(2x)>f(x+3),试求x的取值范围

Answer 1

f(0+0)=f(0)+f(0)
f(0)=0
f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)
即
f(x)+f(-x)=0
f(x)=-f(-x)
所以f（x）为奇函数
1）获证

设x1>x2 x1,x2∈R
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)
因为x1>x2 所以x1-x2>0
所以 f(x1-x2)>0
所以 f(x1)>f(x2)
所以f（x）为增函数
因此2）获证

f(2x)>f(x+3)
f(2x)-f(x+3)>0
f(2x)+f(-x-3)>0
f(2x-x-3)>0
x-3>0
x>3
3）获证。。。

Answer 2

f(0+0)=f(0)+f(0)
f(0)=0
f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)
所以
f(x)+f(-x)=0
f(x)=-f(-x)
所以为奇函数

设x1>x2 x1,x2∈R
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)
因为x1>x2 所以x1-x2>0
所以 f(x1-x2)>0
所以 f(x1)>f(x2)
所以 为增函数

f(2x)>f(x+3)
f(2x)-f(x+3)>0
f(2x)+f(-x-3)>0
f(2x-x-3)>0
x-3>0
x>3