Question

求由y=x^3 ，x=2，y=0所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转一周得到的旋转体积？求解谢谢啦！

Answer 1

首先要画出图形，确定出围成的封闭图形。显然为一个曲边三角形。
绕x轴旋转：
V=∫(0,2)π(x^3)^2dx
=π∫(0,2)(x^6)dx
=π×1/7×(x^7)|(0,2)
=π×1/7×(2^7-0^7)
=128π/7 （体积单位）
绕y轴旋转：
V=∫(0,8)π(y^1/3)^2dy
=π∫(0,8)(y^2/3)dx
=π×3/5×(y^5/3)|(0,8)
=π×3/5×(8^5/3-0^5/3)
=96π/5 （体积单位）
不明白请追问。

追问

你绕Y轴的错了亲

追答

是错了。我算的是里面的那个体积。应该用圆柱体体积减去它就行了。
答案应该是
π*2^2*2^3-96π/5=64π/5

追问

那曲线y=x^2，y=(x^2)/4，以及直线y=1所围成平面面积A以及其绕y轴旋转所产生的旋转体体积？

追答

A=∫(0,1) [√(4y)-√y]dy
=∫(0,1) √ydy
=2/3*y^(3/2)|(0,1)
=2/3
绕y轴旋转所产生的旋转体体积

V=∫(0,1) [π*(4y-y)]dy
=3/2*πy^2|(0,1)
=3π/2

追问

那这个旋转的图形是什么呀？有没有什么公式或诀窍来解这种题目？

追答

这个图形像一个开口朝上的碗。碗底（在坐标原点）厚度为0。求积时可用截面法

追问

那公式是什么？

追答

不用死记公式，要明白其中的道理，自然啥都不怕。
求体积时，首先要弄明白旋转出来的图形是啥样的。
比如绕x轴旋转时，其中心对称的对称轴是x轴，那么就用垂直于x轴的一系列平面来截这个图形，肯定会得到一个圆环（或圆）。要是圆环的话是有内半径和外半径的，设内半径为y1=f1(x)，外半径为y2=f2(x)，则该圆环的面积为
π[f2(x)^2-f1(x)^2]，那么考虑厚度为dx的圆环薄片，其体积自然是π[f2(x)^2-f1(x)^2]*dx，于是就有
V=∫(x1,x2) π[f2(x)^2-f1(x)^2]*dx
绕y轴旋转时，其中心对称的对称轴是y轴，那么就用垂直于y轴的一系列平面来截这个图形，肯定也会得到一个圆环（或圆）。设内半径为x1=f1(y)，外半径为x2=f2(y)，则该圆环的面积为
π[f2(y)^2-f1(xy^2]，那么考虑厚度为dy的圆环薄片，其体积自然是π[f2(y)^2-f1(y)^2]*dy，于是就有
V=∫(y1,y2) π[f2(y)^2-f1(y)^2]*dy