Question

1-5x^2-2x^4+x^6=0求解

Answer 1

令t=x²，t>0(x=0不是原方程的解)

原方程变形为：

t³-2t²-5t+1=0

根据一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。

重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd，

总判别式：Δ=B^2－4AC。

a=1,b=-2,c=-5,d=1

A=19, B=1, C=31,Δ=-588

当Δ=B^2－4AC<0时，盛金公式：方程有三个不相等的实根。

X1=(－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)；

X2，3=(－b+A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)，

其中θ=arccosT，T=(2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A>0，－1<T<1)。

然后根据这3个求根公式，先判断它们的正负，若正求出来开平方就是原方程的解。

又根据三次方程aX³+bX²+cX+d=0的韦达定理：

X1·X2·X3=-d/a；

X1·X2+X1·X3+X2·X3=c/a；

X1+X2+X3=-b/a。

t1·t2·t3=-1

t1+t2+t3=2

可能判断有一根为负，另2根为正，所以原方程有4个实数根。

用工具作y=1-5x^2-2x^4+x^6的图像可以证实有4个实根。

只是求根方法太繁琐，略。有兴趣可以试一试。

Answer 2

解：原方程为：x^6-2x^4-5x^2+1=0
令y=x^2, 则方程可化为：y^3+(-2)y^2+(-5)y+1=0........(1)
这是一个标准的一元三次方程，如果能因式分解，题目还有意义。
对于y来说，有三个根，一个实根，两个虚根。
令y=u-(-2)/3=u+2/3, 代入(1)得：u^3+pu+q=0 (p,q的值你可以算出来）
用公式就能解出实根及另外两个虚根。
或再仔细对一下题目，是否错了。