Question

如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE上，并且AF=CE=AE

（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？证明你的结论。

Answer 1

(1)∵DE⊥BC，AC⊥BC，

∴DE∥AC，

∴∠1=∠3,

又∵∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∵CE=AE，

∴∠4=90°-1/2∠3，

∵AF=AE，

∴∠5=90°-1/2∠2,

∴∠4=∠5,

∴CE∥AF，

又∵CE=AF

∴四边形ACEF是平行四边形

 

（2）若平行四边形ACEF是菱形，

则AE=CE=AC，

∴∠CAE=60°，

∴∠B=30°。

反之，当∠B=30°时，

四边形ACEF是菱形。