Question

如图,三角形ABC中,以BC为直径的圆o交AB于点D,CA是圆o的切线,AE平分角BAC交BC于点E，交CD于点F

(1)求证CE=CF
(2)若sinB=3/5,求DF:CF的值

Answer 1

1、∵AC是圆的切线
∴AC⊥BC
∵BC是圆直径
∴∠BDC=∠ADF=∠ACB=∠ACE=90°
∵AE平分∠ABC
∴∠BAE=∠CAE
即∠DAF=∠CAE
∴△ADF∽△ACE
∴∠AFD=∠AEC
即∠AFD=∠FEC
∵∠AFD=∠EFC
∴∠FEC=∠EFC
∴CE=CF
2、∵AF是∠DAC的平分线
∴由角平分线定理：DF/CF=AD/AC
∵∠ACB=∠ADC=90°
∠DAC=∠CAB
∴△ADC∽△ACB
∴AC/AB=AD/AC
AD=AC²/AB
(学过射影定理，可以直接用）
∴DF/CF=AD/AC=(AC²/AB)/AC=AC/AB
∵在Rt△ABC在sin∠B=AC/AB=3/5
∴DF/CF=3/5
即DF∶CF=3∶5