Question

高分求一道线性代数题目解答题详细解析

一道线性代数选择题：若矩阵A与B的特征值都相同(包括重数)则两矩阵相似吗？
下列说法正确的是( )。

A、若矩阵A与B的特征值都相同(包括重数)则两矩阵相似。

B、若矩阵A与B的特征值都相同(包括重数)则两矩阵合同。

C、若实矩阵A=A转置，B=B转置且特征值相同(包括重数)则A与B合同。

D、若矩阵A与B等价则A与B必相似。

答案是C，因为由题设条件A、B都是实对称矩阵，由于实对称矩阵相似的充要条件是特征值相同，故A与B相似，而相似必合同，因而A与B必合同。

我的疑问是：
1：这道题目选C的原因
2：什么是重数啊
3：为什么答案解析说的是
①实对称矩阵相似的充要条件是特征值相同
②而相似必合同 这是为什么 在线等 精彩加分

Answer 1

实对称矩阵可正交对角化,
正交对角化即与对角矩阵相似
由于对角矩阵主对角线上元素都是特征值
所以特征值相同的实对称矩阵相似与同一个对角矩阵
而相似关系都是等价关系(有传递性)
所以实对称矩阵相似的充要条件是特征值相同

对实对称矩阵矩阵而言
相似则特征值相同
则正交相似于同一对角矩阵
正交相似即是相似又是合同
所以相似必合同

特征值的重数即特征多项式的重根
有时说A的特征值为 1,4,4, 即4是2重特征值

追问

老师 期末了
再顺带回答我一个问题吧
1：几何重数和代数重数是不同的吧？
2：搞不清线性空间和向量空间的本质区别

谢谢老师

追答

1. 代数重数是是特征多项式中特征值的重数
如 |A-λE| = (λ1-λ)^2(λ2-λ)^3...
则特征值λ1的几何重数是 2
而它的几何重数是指齐次线性方程组 (A-λ1E)x=0 的基础解系所含向量的个数
即 n - r(A-λ1E)
2. 向量空间就是线性空间,没有区别
都是定义了两种运算(加法与数乘), 满足8条运算规律

Answer 2

1、A没说特征向量线性无关
B没说矩阵是实对阵矩阵
C满足实对阵矩阵，所以正确
D没道理。都没说是什么矩阵
2、重数就是比如4阶方阵的特征值为0,0,1,2则其特征值0的重数是2
3、（1）实对称矩阵特征向量必然线性无关，特征值相同时矩阵相似是充要条件
（2）要搞清楚概念，合同矩阵不一定特征值相同。