Question

在相似三角形的复习课上,王老师出示下题:如图1,△ABC为等边三角形,面积为S

在相似三角形的复习课上,王老师出示下题:如图1,△ABC为等边三角形,面积为S.D1,E1,F1分别是△ABC三边上的点，且满足AD1=BE1=CF1=1/2AB，连结D1E1，E1F1，F1D1，可得△D1E1F1.
解答下列问题：
（1）填空：用S表示△AD1F1的面积S1= ，△D1E1F1的S1'=；
（2）当D2，E2，F2分别是等边△ABC三边上的点，且满足AD2=BE2=CF2=1/3AB，求△AD2F2的面积S2和△D2E2F2的面积S2'（用含有S的代数式表示）；
（3）探究：已知Dn，En，Fn分别是等边△ABC三边上的点，且满足ADn=BEn=CFn=1/（n+1）AB（n为正整数），则△ADnFn的面积Sn= ，△DnEnFn的面积Sn'= （直接用含n代数式表示）.

Answer 1

在相似三角形的复习课上,王老师出示下题:如图1,△ABC为等边三角形,面积为S.D1,E1,F1分别是△ABC三边上的点，且满足AD1=BE1=CF1=1/2AB，连结D1E1，E1F1，F1D1，可得△D1E1F1.
解答下列问题：
（1）填空：用S表示△AD1F1的面积S1=1/4S ，△D1E1F1的S1'=1/4S ；
（2）当D2，E2，F2分别是等边△ABC三边上的点，且满足AD2=BE2=CF2=1/3AB，求△AD2F2的面积S2和△D2E2F2的面积S2'（用含有S的代数式表示）；
S2=1/3×(1-1/3)×S=2/9S
S2'=S-3S2=S-3×2/9S=1/3S
（3）探究：已知Dn，En，Fn分别是等边△ABC三边上的点，且满足ADn=BEn=CFn=1/（n+1）AB（n为正整数），则△ADnFn的面积Sn= ，△DnEnFn的面积Sn'= （直接用含n代数式表示）.
Sn=1/(n+1)×[1-1/(n+1)]×S=n/(n+1)² S
Sn'=S-3Sn=S-3×n/(n+1)² S=(n²-n+1)/(n+1)² S

Answer 2