Question

急急急~！！！难题一道~高手进

如图,抛物线y=ax²+bx+c经过点O(0,0),A(3,4)和C(11,0)，点P（t，0）是x轴上的一个动点，以P为圆心，1/2AP长为半径，顺时针方向转90°得PB，连AB、BC、AC。
（2）t为何值时，点B在此抛物线上
（3）当t＞0时，是否存在△ABC为等腰三角形？若存在，求出点P坐标
图不会弄

Answer 1

解：用复数法相对简单些。
抛物线y=ax²+bx+c经过点O(0,0)和C(11,0)，则抛物线方程可设为
y=a(x-11/2)^2-121a/4
又过A(3，4)，故有
4=a(3-11/2)^2-121a/4=-24a
解得a=-1/6
故抛物线方程为
y=-1/6*(x-11/2)^2+121/24=-x^2/6+11x/6
P(t,0)，A(3，4)，则
向量PA=(3-t)+4i （i表示虚数单位）
则向量PB=1/2*向量PA/i=1/2*[(3-t)+4i]/i=2+(t-3)/2*i
则向量OB=向量OP+向量PB=(t+0i)+2+(t-3)/2*i=(t+2)+(t-3)/2*i
于是B点坐标为B[t+2,(t-3)/2]
要使点B在此抛物线上，有
(t-3)/2=-(t+2)^2/6+11(t+2)/6
解得t=2±√31
（3）A(3,4)，B[t+2,(t-3)/2]，C(11,0)
三个点都有了，无非是令AB=AC，解出t看是否大于0；
令AB=BC，解出t看是否大于0；
令AC=BC，解出t看是否大于0。
时间关系，下面略。
不明白请追问。