Question

若f(x)是二次函数且f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x求f(x)?

到这一步后面的我不理解了 2ax+a+b=2x

Answer 1

若f(x)是二次函数且f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x求f(x)?

令f（x）=ax²+bx+c

f（0）=c=1
c=1

f（x）=ax²+bx+1

f（x+1）-f(x)=a(x+1)²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=ax²+2ax+a+bx+b+1-ax²-bx-1=2ax+a+b=2x

a+b=0
2a=2
a=1
b=-1
f（x）=x²-x+1

追问

a+b=0
2a=2
a=1
b=-1
f（x）=x²-x+1为什么会有这些？

追答

2ax+a+b=2x

左右两边对应系数相等
2a=2

a+b=0

追问

这样说的话 好像对这样的做法有印象的 请问这是哪一块的知识点（或者说是在哪里学到的)呢？

追答

待定系数法

就是两个多项式如果它们相等，那么它们的每一项的系数都相等
比如f（x）=ax³+bx+c和g（x）=dx³+ex²+f
如果f（x）=g（x）
那么a=d，0=e，b=0，c=f

Answer 2

f(x+1)-f(x)=2x，将x+1和x代入ax²+bx+c，得2ax+a+b=2x

追问

后面呢？

追答

2ax+a+b=2x，（2a-2）x+a+b=0，对于任何x都成立，所以x的系数=0即a=1
a+b=0，所以b=-1，f(0)=1得出c=1
f(x)=x²-bx+1

追问

（2a-2）x+a+b=0，对于任何x都成立，所以x的系数=0即a=1
这一步是从哪里来的？

追答

题目说f(x+1)-f(x)=2x，这里的x指的是函数定义域内的所有x

追问

那请问 我在这里如果是直接将x=0带入（2a-2）x+a+b=0中呢? 那不就是a+b=0了 这样下面就没办法求了啊?
你也说到这个x是定义域内的任意x啦 那和它的系数有什么关系呢?

追答

可以取两个不同的x1、x2
（2a-2）x1+a+b=0
（2a-2）x2+a+b=0
两式相减得（2a-2）（x1-x2）=0，因为（x1-x2）≠0，所以2a-2=0
这样解释能明白吗