Question

已知，如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（-2，0），点B坐标为（0，2），点E为线段AB上的动点（点E不与

点A，B重合），以E为顶点作∠OET=45°，射线ET交线段0B于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线y=-根号2x2+mx+n的图象经过A，C两点．
（1）求此抛物线的函数表达式；（2）求证：∠BEF=∠AOE（3）当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐

Answer 1

分析：（1）首先求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）利用三角形外角性质，易证∠BEF=∠AOE；
（3）当△EOF为等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论，注意不要漏解；
（4）本问关键是利用已知条件求得点P的纵坐标，要点是将△EPF与△EDG的面积之比转化为线段之比．如图④所示，首先证明点E为DF的中点，然后作x轴的平行线FN，则△EDG≌△EFN，从而将△EPF与△EDG的面积之比转化为PE：NE；过点P作x轴垂线，可依次求出线段PT、PM的长度，从而求得点P的纵坐标；最后解一元二次方程，确定点P的坐标．解答：解：（1）如图①，∵A（-2，0）B（0，2）
∴OA=OB=2，
∴AB2=OA2+OB2=22+22=8
∴AB=22，
∵OC=AB
∴OC=22，即C（0，22）
又∵抛物线y=-2x2+mx+n的图象经过A、C两点
则可得-4
2-2m+n=0n=2
2​，
解得m=-
2n=2
2​．
∴抛物线的表达式为y=-2x2-2x+22．

（2）∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠BAO=∠ABO=45°
又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE，
∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF，
∴∠BEF=∠AOE．

（3）当△EOF为等腰三角形时，分三种情况讨论
①当OE=OF时，∠OFE=∠OEF=45°
在△EOF中，∠EOF=180°-∠OEF-∠OFE=180°-45°-45°=90°
又∵∠AOB=90°
则此时点E于点A重合，不符合题意，此种情况不成立．
②如图2，当FE=FO时，
∠EOF=∠OEF=45°
在△EOF中，
∠EFO=180°-∠OEF-∠EOF=180°-45°-45°=90°
∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°
∴EF∥AO，
∴∠BEF=∠BAO=45°
又∵由（2）可知，∠ABO=45°
∴∠BEF=∠ABO，
∴BF=EF，
EF=BF=12OB=12×2=1
∴E（-1，1）
③如图③，当EO=EF时，过点E作EH⊥y轴于点H
在△AOE和△BEF中，
∠EAO=∠FBE，EO=EF，∠AOE=∠BEF
∴△AOE≌△BEF，
∴BE=AO=2
∵EH⊥OB，
∴∠EHB=90°，
∴∠AOB=∠EHB
∴EH∥AO，
∴∠BEH=∠BAO=45°
在Rt△BEH中，∵∠BEH=∠ABO=45°
∴EH=BH=BEcos45°=2×22=2
∴OH=OB-BH=2-2∴E（-2，2-2）
综上所述，当△EOF为等腰三角形时，所求E点坐标为E（-1，1）或E（-2，2-2）．

Answer 2

（1）OC=√(OA^2+OB^2)=√(2^2+2^2)=2√2；所以C点坐标是(0,2√2)；
将C、A两点坐标分别带入抛物线方程得到两个等式：2√2=n，0=-√2*(-2)^2+m*(-2)+n，所以m=-√2；
抛物线方程：y=-√2x^2-√2x+2√2；
（2）∠BEF=180°-∠OEF-∠OEA，∠OEF=45°，∠OEA=180°-∠OAE-∠AOE=180°-45°-∠AOE；
∠BEF=180°-∠OEF-∠OEA=180°-45°-(180°-45°-∠AOE)=∠AOE；
（3）△EOF为等腰三角形，OE=EF或EF=OF（OE≠OF，因为∠EOF<90°，∠OFE>45°>∠OEF）；
若OE=EF，则由△AOE≌△BEF，得 BE=AO=2，E点横坐标x=-BE*sin45°=-2*(√2/2)=-√2；
E点纵坐标y=2-BE*cos45=2-2*(√2/2)=2-√2；坐标E(-√2,2-√2)；
若EF=OF，∠EOF=45°，E位于AB的中点，E点坐标(-1,1)；

Answer 3

你自己去看下吧都有的