Question

为什么抛物线方程与圆方程联立不能使用韦达定理

今天同学来问我一道数学题目,偶然发现了一个很奇怪的现象.那就是抛物线方程与圆方程联立不能使用韦达定理.
题目是求:
抛物线 x^2=4 与 圆 x^2+y^2=1 的交点.
常规解法
将两方程联立,可得:y^2+4y-1=0
可是这个方程的韦达定理是
y1+y2=-4
y1×y2=-1

可是通过画图,可以很容易了解到,抛物线和圆的交点均在X轴上方.那么也就是说,这个韦达定理不成立.
我百思不得其解,全年级也没有老师能回答我这个问题.

虽然这个题目很容易解出正确答案,但是题目中反映的现象不得不令人陷入深思.请有数学强于我的人给我一个满意的答复.

Answer 1

"很容易了解到,抛物线和圆的交点均在X轴上方"
其实这时你应该注意到一点就是，这两个交点的纵坐标是相等的，所以其实对应的是一个y值，也就是你列的一元二次方程的一个根，也就是说y1,y2至少有一个大于0就可以，你不能苛求两个都大于0吧，呵呵，要看式子的话楼上列的很明白的，不过您的这种一定要弄明白的精神很让我佩服，羡慕你的学生有这样一个好老师！

Answer 2

x^2=4y
x^2+y^2=1
这是一个二元二次方程组，要知道，二元二次方程组一般是有四个解的。
由方程y^2+4y-1=0显然可以求得两个y的值,一个大于0，一个小于0，但由抛物线方程知，y>=0,所以必须舍去小于0的根，于是，这个二元二次方程组就去掉了两组解，只剩下两组解，也就是抛物线与圆的交点坐标了。还有不懂的继续问。

Answer 3

y^2+4y-1=0
如果单纯对于这个方程来说，肯定是符合韦达定理的

但是题目中的解有1个不符合要求，要舍去的。当然不能再用韦达定理来判定了。。

Answer 4

抛物线是x^2=4y
所以y>=0
所以尽管这个方程y^2+4y-1=0 有负解
但不合题意，应舍去
这里只能取正解