Question

一个行列式计算问题，要过程，谢谢

Answer 1

(n*(n+1)/2)*(-1)^(n-1)*(n^(n-2))，其中^是次方的意思。

（1）所有行加到第1行，第1行全部是n(n+1)/2，提出来，第1行全变成1。
（2）第2行，减第1行，再减第3行，该行只有一个元素是-n（第2列），其他全是0，把-n提出来。
（3）第3行，减第1行，再减第4行，该行只有一个元素是-n（第3列），其他全是0，把-n提出来。
（4）第4行，减第1行，再减第5行，该行只有一个元素是-n（第4列），其他全是0，把-n提出来。
。。。
（n-1）第n-1行，减第1行，再减第n行，该行只有一个元素是-n（第n-1列），其他全是0，把-n提出来。
（n）第n行，减去第1行×2，得0 1 2 ... n-2 -1，把-1提出来。

到目前为止，提了一个n*(n+1)/2，提了(n-2)个(-n)，和1个-1，总共是(n*(n+1)/2)*(-1)^(n-1)*(n^(n-2))。

剩下的式子，第1行全是1，从第2行开始，到第(n-1)行，都只有对角元素非0，且都是1，第n行是0 -1 -2 ... -n+2 1，下面说明，这个剩余方阵的行列式为1。

先按第1列展开，第1列只有1个非零元素为1，所以很简单，行列式值不变。

剩下的(n-1)维方阵，再按照第1行展开，第1行只有一个非零元素为1，所以很简单，后面就一直按照第1行展开（因为一直都只有一个非零元素1可以展开），最后行列式的值就是1了。

已经用计算机测试过了，该式子对n=2~5都是正确的。
n=2，Det=(2*3/2)*(-1)^1*2^0=3*-1*1=-3。
n=3，Det=(3*4/2)*(-1)^2*3^1=6*1*3=18。
n=4，Det=(4*5/2)*(-1)^3*4^2=10*-1*16=-160。
n=5，Det=(5*6/2)*(-1)^4*5^3=15*1*125=1875。
这4个值都和计算机直接计算的行列式值，完全相等，所以结果应该没有问题。

计算机输入（Matlab语言）：
>> a=[1 2
2 1];
>> det(a)
ans =
-3

n=2，计算机计算得-3。

>> a=[1 2 3
3 1 2

2 3 1];
>> det(a)
ans =
18

n=3，计算机计算得18。

>> a=[1 2 3 4
4 1 2 3
3 4 1 2
2 3 4 1];
>> det(a)
ans =
-160

n=4，计算机计算得-160。

>> a
a =
1 2 3 4
4 1 2 3
3 4 1 2
2 3 4 1
>> a=[1 2 3 4 5
5 1 2 3 4

4 5 1 2 3
3 4 5 1 2
2 3 4 5 1];
>> det(a)
ans =
1875

n=5，计算机计算得1875。

所以，结果不会有错的。

Answer 2

所有列加到第一列，得第一列全是n(n+1)/2
提出来后
第一列全是1，然后把第一行乘-1加到2到n行，然后按一列展开。