Question

请高手帮忙做高一数学函数题，谢谢

Answer 1

这个题目还是比较绕人的，先帮你做第(1)问，其实(2)和(3)也差不多
(1)
令k(x)=|f(x)|-g(x)=|x^2-1|-a|x-1|
当a=0时，k(x)=|x^2-1|，容易知道，此函数有2个实根，x=-1和x=1，不满足题意
当a<0时，k(x)恒大于等于0，但当x=1时，函数值为0，故满足题意
当a>0时就比较复杂了，要分段讨论：
1)
当x≥1时，k(x)=x^2-ax+a-1，函数的对称轴是x=a/2，且x=1始终是函数k(x)的一个根。
当0<a<2时，对称轴0<a/2<1，位于x=1的左面，所以x≥1时，只有一个实根x=1
当a=2时，判别式delta=0，只有一个实根x=1
当a>2时，对称轴a/2>1，位于x=1的右面，所以x≥1时，除了实根x=1外
函数k(x)还有一个实根a-1。至此判明：当a>0时，在x≥1时，函数k(x)至少有一个实根
如果在x<1的区间，函数至少还有一个实根，则可判断a>0不满足题意。
2)
当-1<x<1时，k(x)=-x^2+ax-a+1，函数的对称轴是x=a/2，且x=1始终是函数k(x)的一个根
当0<a<2时，对称轴0<a/2<1，位于x=1的左面
此时k(x)在x=-1和x=0之间一定还有一个根a-1
当a=2时，判别式delta=0，只有一个实根x=1
当a>2时，对称轴a/2>1，位于x=1的右面，此时在-1<x<1时内，函数只有一个实根x=1
至此已经判明，a>0时，函数在(-1,inf)有可能存在2个实根，其实后面的第3种情况
都可以不用做了，但还是做一下。
3)
当x≤-1时，k(x)=x^2+ax-a-1，函数的对称轴是x=-a/2，判别式delta=(a+2)^2恒大于0
当a>0时，对称轴-a/2<0，函数k(x)的一个实根x=1不在取值区间内
但此时k(x)在x<0时一定还有一个根-a-1
至此已经判明，a>0时，函数在(-inf,inf)至少存在2个实根
所以题目要求|f(x)|=g(x)只有一个实根的条件是a<0