Question

正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，平面B1D1E与平面BB

正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，平面B1D1E与平面BB1C1C所成角的正切值为？
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Answer 1

设正方体棱长为a
过C1作C1F垂直B1E垂足为连接D1F
∵D1C1垂直平面BB1C1C由三垂线定理 D1F垂直B1E
∠D1FC1即为平面B1D1E与平面BB1C1C所成角
在直角三角形D1C1F中 D1C1=a C1F=2√5a/5(容易在正方形BB1C1C中求得）
tan∠D1FC1=D1C1/C1F=a/(2√5a/5)=√5/2
另解：设正方体棱长为
以D1点为原点D1A1为x轴D1C1为y 轴D1D为z轴建立空间直角坐标系
向量D1C1=（0，1，0）
向量D1E=（1/2，1，1）
向量D1B1=（1，1，0）
向量B1E=（-1/2，0，1）
设平面B1D1E的法向量n=(x,y,z)则
x/2+y+z=0 x+y=0 -x/2+z=0
n=x(1,-1,-1/2)
平面B1D1E的单位法向量n0=(2/3,-2/3,-1/3)
向量n0向量D1C1=-2/3
设α=〈向量n0，向量D1C1〉
cosα=-2/3 sinα=√5/3 tanα=-√5/2
∠D1FC1=π-α
tan∠D1FC1=-tanα=√5/2