Question

设随机变量X~N（0,1），Y=X²，求Y的概率密度。详细的解答过程，谢谢

Answer 1

X的概率密度函数：f_X(x)=1/√(2π)·e^(-x^2/2)
y≤0时，F_Y(y)=P{Y<y}=P{X^2<y}=0
f_Y(y)=0
y>0时，F_Y(y)=P{Y<y}=P{X^2<y}=P{-√y<X<√y}=F_X(√y) - F_X(-√y)
f_Y(y)=F'_Y(y)=F'_X(√y) - F'_X(-√y)=f_X(√y)*[1/(2√y)] - f_X(-√y)*[-1/(2√y)]
=1/(2√y)*[f_X(√y) + f_X(-√y)]=1/(2√y)*{1/√(2π)·e^[-(√y)^2/2]+1/√(2π)·e^[-(-√y)^2/2]}
=1/(2√y)*2*1/√(2π)*e^(-y/2)=1/√(2πy)*e^(-y/2)

综上：Y的概率密度函数f_Y(y)=
｛0, y≤0
｛1/√(2πy)*e^(-y/2), y>0

追问

X的概率密度函数：f_X(x)=1/√(2π)·e^(-x^2/2)...这个是怎么得到的

追答

正态分布N(μ,σ^2)的概率密度函数：
f(x)=1/[σ√(2π)]·e^[-(x-μ)^2/(2σ^2)]
μ=0,σ=1即为标准正态分布N(0,1)
这个得记住

Answer 2

Y的取值范围为（0,1）
1，当y≤0时 P(Y≤y)=0
2，当0<y<1时 P(Y≤y)=P(X^2≤y)=P(0≤X≤√y)=√y/(1-0)=√y
3，当y≥1时 P(Y≤y)=1
所以 f(y)=d(P(Y≤y))/dy=1/(2√y),0<y<1,其他为0