Question

已知函数f(x)=|x^2+Px+q|，其中p，q为实常数，若当x∈【1,5】时，恒有f(x)≤2，则p-q的值为

着急要答案，最好能看懂

Answer 1

已知函数f(x)=|x^2+Px+q|，其中p，q为实常数，若当x∈【1,5】时，恒有f(x)≤2，则p-q的值为
解析：∵函数f(x)=|x^2+Px+q|=|(x+p/2)^2+(4q-p^2)/4|
∴a其对称轴x=-p/2
∵当x∈[1,5]时，恒有f(x)≤2
-p/2=(1+5)/2==>p=-6
令g(x)=x^2+Px+q=0
X1+x2=-p/2=3，x1x2=q
∴p-q=-[2(x1+x2)+x1x2]=-(6+x1x2)
|(4q-p^2)/4|<=2==>-8<=4q-p^2<=8==>4q-8<=p^2<=4q+8
取p=-6,q=7
g(1)=1-6+7=2
g(5)=25-30+7=2
满足当x∈[1,5]时，恒有f(x)≤2
∴p-q=-6-7=-13

追问

只要f(1)＜2，f(5)＜2的话，1和5不必关于对称轴对称的吧 不对称也可以满足恒成立条件吧 这就是我的疑惑，只要帮我解决这个以后，让我再加分也可以

追答

如果1和5不关于x=3对称，即对称轴左或右偏离x=3，g(1)≠g(5)，一个>2，另一个<2，则不可能同时满足f(1)＜2，f(5)＜2

追问

我很笨 所以我再追问 就算不对称也可以找到f(1)，f(5)同时小于2的吧

追答

如下图所示：函数f(x)=|x^2-6x+7|图像如蓝色曲线，关于x=3对称，红色曲线是函数图像左移0.5个单位，此时，f(1)<2,f(5)>2，如何满足f(1)，f(5)同时小于2？

Answer 2

解：f(x)=|(x+P/2)^2+q-p^2/4|;令g(x)=(x+P/2)^2+q-p^2/4;
g(1)=1+p+q,g(5)=5p+25+q，g(x)min=q-p^2/4
有当x∈【1,5】时，恒有f(x)≤2；即x∈【1,5】时f(x)max=2;

根据画图，知当g(x)min>=0,-p/2=3,f(x)max=g(1)=g(5)则q-p^2/4>=0，g(1)=g(5)=2,-p/2=3; 得p=-6,q=7不满足条件，舍去。
当g(x)min>=0,-p/2<3,f(x)max=g(5)则q-p^2/4>=0;得-6<p<2倍的根号2-10，矛盾舍去
当g(x)min>=0,-p/2>3,f(x)max=g(1)得 -2倍的根号2-2<=p< -6，矛盾舍去。

当g(x)min<0,-p/2<=1时,若g(1)>0g(5)>0,则f(x)max=g(5)

若g(1)<0g(5)<0,则f(x)max=g(1)
若g(1)<0g(5)>0,则f(x)max=g(5) 或-g(1)

当g(x)min<0,-p/2>=5时,若g(1)>0g(5)>0,则f(x)max=g(1)
若g(1)<0g(5)<0,则f(x)max=g(5)
若g(1)<0g(5)>0,则f(x)max=g(5) 或-g(1)

当g(x)min<0,1<-p/2<5时,若g(1)>0g(5)>0,则f(x)max=g(5)或g(1)或-g(x)min
若g(1)<0g(5)<0,则f(x)max=-g(x)min
若g(1)<0g(5)>0,则f(x)max=g(5) 或-g(x)min
若g(1)>0g(5)<0,则f(x)max=-g(x)min或g(1)

Answer 3

已知集合a={(x，y)